分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)教學(xué)的實(shí)踐與思考-數(shù)學(xué)論文發(fā)表

分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)一直以來(lái)是五年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一。計(jì)算方法很容易掌握，但是背住了，會(huì)算了，考試能得高分就實(shí)現(xiàn)教學(xué)的價(jià)值了嗎？帶著這些問(wèn)題，我和兩位老師進(jìn)行了實(shí)踐：
A教師的課堂回放：
師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，這節(jié)課我們一起來(lái)研究分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。（板書：分?jǐn)?shù)乘法三）
生：老師，我已經(jīng)會(huì)算了。
師：（微笑）說(shuō)說(shuō)，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)怎么算？
生：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子和分子相乘，分母和分母相乘。
師：大家同意他的說(shuō)法嗎？（同意）看來(lái)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的方法大家已經(jīng)知道了。那為什么在計(jì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的時(shí)候，要用分子和分子相乘、分母和分母相乘，你們知道嗎？
生：（搖頭，面露困惑）
師：這節(jié)課我們就一起來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。
師：我們一起來(lái)看（演示并講解），如果要計(jì)算 × =？，我們可以先將一張長(zhǎng)方形的紙，用斜線涂出它的 （折、涂一張紙的 ），再把這張紙橫著對(duì)折2次，找到 的 （用紅色涂出斜線部分的 ），紅色部分占整張紙的 。 正是 的 ，也就是 × 的結(jié)果。
 → →  →  
師：大家明白了嗎？（生似懂非懂）請(qǐng)同學(xué)們用這種辦法試著來(lái)畫一畫、涂一涂，看 × ＝？
在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生雖能算出 × 的結(jié)果，但是對(duì)怎么畫、涂表示計(jì)算的道理卻出現(xiàn)極大的困難。在涂的過(guò)程中，主要有以下不同的涂法：

面對(duì)這些五花八門的涂法，老師顯然也感到意外萬(wàn)分。于是再次演示正確的畫、涂方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)算式，得出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法：分母乘分母，分子乘分子。之后，草草收兵，進(jìn)行接下來(lái)的計(jì)算練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)。從課堂小測(cè)來(lái)看，大部分學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，但是對(duì)算理的理解還是糊涂一片。
經(jīng)課后訪談得知，有些學(xué)生先算出來(lái) × 的得數(shù)，再表示出這張紙的2/15，如圖二；大部分學(xué)生雖能正確涂出一張紙的2/5，但對(duì)接下來(lái)涂這個(gè)數(shù)的1/3的時(shí)候，找不到是哪部分的1/3。如圖一和其余四種涂法。
教學(xué)注釋：
教材的本意是要通過(guò)折紙、涂色幫助學(xué)生理解算理，再掌握算法，而在這節(jié)課上，學(xué)生在已知算法的情況下，作為中介的折紙與畫圖卻成了教學(xué)的難點(diǎn)。即便如此，我們也不能忽視學(xué)生對(duì)算理的理解。因?yàn)?，學(xué)生大多對(duì)算法是知其然而不知其所以然。如果不理解算理，即使會(huì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的題目，卻對(duì)未來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法設(shè)下了障礙。因此，教材安排的折紙與涂色活動(dòng)是很有深意的。這部分絕不能成為課堂的點(diǎn)綴，也不能僅憑教師的演示和講解就匆忙結(jié)束。必須讓學(xué)生親自經(jīng)歷這一活動(dòng)，讓他們找到2/5的1/3，發(fā)現(xiàn)2/5的1/3就是整張紙的2/15，從而得到算式與結(jié)果的關(guān)聯(lián)?；谶@些思考，第二位老師進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

B教師的課堂回放：
片段一：
師：（課前每人發(fā)一張紙）用折紙的方式，折出這張紙的1/2。涂色表示出這張紙的1/2。
（生自主完成）
師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎么做的？
生：我把這張紙對(duì)折，就是把這張紙平均分成兩份，那其中的一份我涂了色就表示其中的1/2。
師：現(xiàn)在這張紙被涂色的部分，也就是？
生：這張紙的1/2。
師：如果用涂色的方式來(lái)表示這張紙的1/2的1/4，你們還會(huì)嗎？
（生折、涂，教師巡視，找有代表性的方法匯報(bào)）
生：我把這張紙先撕了，拿出了這份，然后對(duì)折，對(duì)折，就涂其中的一份就可以了。
教學(xué)注釋：學(xué)生通過(guò)撕紙，把一張紙的1/2變成新的單位1。這充分反應(yīng)了學(xué)生的思維過(guò)程，明白1/2張紙是單位1。學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手操作明白了算式的含義。
師：表示的是誰(shuí)的1/4？
生：是這張紙的1/4（學(xué)生先撕了一張紙的1/2做的，所以學(xué)生指的這張紙是1/2張紙的1/4）
師：想一想，你們指的這張紙和我們開始用的紙之間的關(guān)系？
生：是開始紙的1/2。
師：那么這1/4是？
生：開始那張紙的1/2的1/4。
師：聽明白了嗎？現(xiàn)在想想我們是怎么完成這張紙的1/2的1/4的？
生：首先把一張紙平均分成兩份，取了其中的一份，再把其中的一份平均分成4份，取其中的一份。
師：就是？
生：就是一張紙的1/8。
師：是一張紙的1/8，對(duì)不對(duì)呢？快把你們撕的紙合起來(lái)看看，是不是這張紙的1/8？
（生驗(yàn)證）
教學(xué)注釋：讓學(xué)生撕下1/2張紙，再去找它的1/4時(shí)，學(xué)生描述的“這張紙”并非原來(lái)完整的一張紙。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生還原這張紙，再來(lái)理解手中紙的1/4是原來(lái)整張紙的1/2的1/4，也就是整張紙的1/8。讓孩子結(jié)合直觀圖示，逐漸形成抽象的理解，不僅知其然，還要知其所以然。

片段二：
師：同學(xué)們學(xué)得真不錯(cuò)?？纯催@道題，（2/5×3/7）你會(huì)做嗎？做完后能結(jié)合折紙，說(shuō)說(shuō)算式的含義嗎？
（生討論之后匯報(bào)）
師：你們會(huì)說(shuō)含義了嗎？
生：就是把一張紙平均分成5份，取其中的兩份，再把這兩份平均分成7份，取其中的3份。
師：其實(shí)就是求什么？
生：一張紙的2/5的3/7是多少？
師：你們計(jì)算出來(lái)了嗎？
生：6/35。
師：這6/35是把誰(shuí)看作單位“1”？
生：把這張紙的2/5看作單位“1”。
生：是把這張紙看作單位“1”。
師：我們來(lái)看一看，如果是把這張紙的2/5看作單位“1”，那應(yīng)是平均分成7份，取3份，所以2/15是把整張紙看作單位“1”。所以2/5×3/7的含義就是？
生：求這張紙的2/5的3/7，也就是這張紙的6/35。
師：我們?cè)賮?lái)體會(huì)一下，先求一張紙的2/5，再求這張紙的2/5的3/7是多少，就是求原來(lái)整個(gè)這張紙的6/35。
（生體會(huì)）
教學(xué)注釋：在學(xué)生通過(guò)折、涂，已經(jīng)很好地理解了一張紙的1/2的1/4，也就是整張紙的1/8之后，這部分教學(xué)沒有進(jìn)行折紙，也沒有圖例，而是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想象，就算式來(lái)說(shuō)含義。在這個(gè)過(guò)程中，教師針對(duì)算式的意義進(jìn)行了追問(wèn)和點(diǎn)撥：6/35是把誰(shuí)看作單位“1”？那么2/5×3/7的含義是什么？借助折紙的情境，讓學(xué)生想象和體會(huì)：先求一張紙的2/5，再求這張紙的2/5的3/7是多少，就是求原來(lái)整個(gè)這張紙的6/35。讓學(xué)生在頭腦中想象兩次涂色的動(dòng)態(tài)過(guò)程，將思維引向深入，從而借助幾何直觀達(dá)到對(duì)算理的抽象理解。
學(xué)習(xí)與思考：
分?jǐn)?shù)乘法（三）是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第一單元分?jǐn)?shù)乘法的內(nèi)容。本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)：1、在操作活動(dòng)中，借助圖形語(yǔ)言，理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義；2、探索并掌握分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，并能夠正確計(jì)算；3、能運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。從這三個(gè)教學(xué)目標(biāo)可以看出，每個(gè)教學(xué)目標(biāo)層層深入，逐步遞進(jìn)。第一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是前兩個(gè)的基礎(chǔ)，只有理解了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，才可以總結(jié)計(jì)算方法；掌握了計(jì)算方法才能正確計(jì)算；擁有計(jì)算能力了，才能解決實(shí)際問(wèn)題。因此，本課教學(xué)重點(diǎn)是結(jié)合具體情境，讓學(xué)生探索并理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義（即算理），在理解算理的基礎(chǔ)上體會(huì)計(jì)算方法的合理性。
據(jù)Ｊ．Martin研究的結(jié)論，“整體１”可以分為以下六種情況①（以１/5為例）：
（１）１個(gè)物體，例如一個(gè)“圓形”，平均分成５份，取其中的１份；
（２）５個(gè)物體，例如“５塊糖”，其中的“１塊”占“５塊”的１/5；
（３）５個(gè)以上但是５的倍數(shù)，例如“１５塊糖”，平均分為５份，取其中的１份；
（４）比１個(gè)多但比５個(gè)少，例如，“２塊巧克力”作為“整體”；
（５）比５個(gè)多但不能被５整除，例如，“７根香蕉”作為“整體”；
（６）一個(gè)單獨(dú)物體的一部分的1/5，例如，一米的3/4的1/5。
這六種情況不可能讓學(xué)生同時(shí)學(xué)習(xí)，但讓學(xué)生逐步地經(jīng)歷這些“情境”對(duì)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)是非常重要的，尤其是（１）（２）（３）這三種情境。（４）（５）兩種情境對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解“分?jǐn)?shù)”與“除法”的關(guān)系非常必要，而情境（６）則是學(xué)生很好地理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的“模型”。
由此，我們推想，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法出現(xiàn)困難，歸根結(jié)底還是對(duì)第（６）種情境經(jīng)歷不夠。兩位老師在教學(xué)中都關(guān)注到了這一點(diǎn)，但是在實(shí)施中，側(cè)重有所不同。A老師利用了系統(tǒng)演示和講解的辦法。這雖能節(jié)省教學(xué)時(shí)間，卻從一定程度上代替了學(xué)生的操作與思考。何況，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)這一“模型”的理解也不是一蹴而就的，一次演示遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要有梯度地呈現(xiàn)類似的情境讓學(xué)生反復(fù)體會(huì)。
為了幫助學(xué)生理解，B老師先和學(xué)生一起經(jīng)歷折、涂一張紙的1/2，再涂這張紙的1/2的1/4。在學(xué)生很好地理解了整張紙的1/8之后，再讓學(xué)生借助折紙的情境來(lái)想像2/5×3/7表示什么？并在學(xué)生容易困惑的地方精心設(shè)問(wèn)和點(diǎn)撥，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明確一張紙的2/5的3/7，也就是這張紙的6/35，最后再讓學(xué)生在頭腦中回顧完整的思考過(guò)程。
顯然，讓學(xué)生由直觀操作達(dá)至初步理解，再由折紙想象兩次平均分的動(dòng)態(tài)過(guò)程，這樣分層次處理是建立在學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)上的。能夠有效地溝通算式與結(jié)果的關(guān)系，促進(jìn)對(duì)算式意義的理解。讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，再去嘗試探索算法，不僅能達(dá)到水到渠成之功，而且也會(huì)印象深刻。
通過(guò)本次研討與實(shí)踐，我們深刻認(rèn)識(shí)到：在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程非常重要。