從數(shù)學(xué)方法論探討高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的多種聯(lián)系

摘要：高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間聯(lián)系較為密切：在知識(shí)體系上，高等代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步延伸和擴(kuò)展；在思想方法上，高等代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的沿襲與拓展；在觀念理論上，高等代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的深化與提高。總之，從數(shù)學(xué)方法上探討高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的多種聯(lián)系，可具體歸結(jié)為思想方法和觀念理論上的一些聯(lián)系，高等代數(shù)中的一些思想方法與觀念理論對中學(xué)數(shù)學(xué)問題的求解有較大的輔助作用。本文從數(shù)學(xué)方法論的角度出發(fā)，對高等代數(shù)在知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維方式和觀念理論上與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的相關(guān)部分加以探討，揭示中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的未來方向。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法論；高等代數(shù)；中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)知識(shí)；思想方法；觀念理論

   目前，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法創(chuàng)新是亟待改善的一大問題要點(diǎn)，對中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)方法改革創(chuàng)新不僅是新時(shí)代前進(jìn)的基本要求，也是我國適應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展、走向世界的一大必然教育趨勢。弄清高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的多種聯(lián)系，提升中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的效果是教育改革的重點(diǎn)。在中學(xué)數(shù)學(xué)問題求解中引入高等代數(shù)知識(shí)體系、思想方法和觀念理論，可以更好地促進(jìn)初等數(shù)學(xué)與高等代數(shù)的交流與融合，促進(jìn)中學(xué)生思維思考能力的提升和后續(xù)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接?？梢哉f，高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)是相輔相成的關(guān)系，初等數(shù)學(xué)的發(fā)展激發(fā)了高等代數(shù)的出現(xiàn)與應(yīng)用，而高等代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展也推動(dòng)了初等數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程。為此，從數(shù)學(xué)方法論角度出發(fā)，探究高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的多種聯(lián)系具有重要的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值。

1. 知識(shí)方面的聯(lián)系

從知識(shí)方面來說，高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)緊密相連。高等代數(shù)是對變量數(shù)學(xué)與常量數(shù)學(xué)知識(shí)綜合化的多級抽象，而中學(xué)數(shù)學(xué)則是簡單的常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，這就決定了高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的同胞相生卻又有所差異的聯(lián)系。將初等數(shù)學(xué)中的基本知識(shí)抽象化、復(fù)雜化就會(huì)衍生出高等代數(shù)知識(shí)，而將高等代數(shù)知識(shí)運(yùn)用于中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，則可以解釋很多中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)難以解釋的問題，使得復(fù)雜的知識(shí)簡單化，比如高等代數(shù)中行列式的消元化簡就是對中學(xué)數(shù)學(xué)n次多元方程的簡化延伸。將高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合可以更好的促進(jìn)學(xué)生思維邏輯的發(fā)散與鍛煉，加深學(xué)生對基本理論知識(shí)的理解與運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生解題思維方法的擴(kuò)展與速度質(zhì)量的提升，進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的發(fā)展。

2. 思想方法方面的聯(lián)系

    高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)字除了在知識(shí)方面有聯(lián)系，在思想方法上更是一脈相承，主要分為五大思想和五大方法：

（1）抽象化思想

    在最初的小學(xué)數(shù)學(xué)中，首先接觸的是從實(shí)物量化而來的數(shù)字，從此產(chǎn)生了算術(shù)運(yùn)算的紀(jì)元。到了中學(xué)數(shù)學(xué)中，使用字母代表數(shù)字，進(jìn)入了從一般情況出發(fā)探討數(shù)字、公式、方程的階段。后來在大學(xué)的高等代數(shù)中，字母又可以代表多項(xiàng)式和矩陣，并以此探索實(shí)際的代數(shù)系統(tǒng)。此外，還可以通過讓字母代表抽象的對象，探索抽象的代數(shù)系統(tǒng)。由此可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)概念抽象化水平越高，探索的范圍也越廣闊。

（2）化歸思想

    利用化歸的思想，中學(xué)數(shù)學(xué)將無理數(shù)的方程轉(zhuǎn)換成有理數(shù)的方程，將分?jǐn)?shù)方程轉(zhuǎn)換成整數(shù)方程，將三元一次的方程組轉(zhuǎn)換為二元以至一元一次方程，根據(jù)矩形推出平行四邊形的相關(guān)公式。而根據(jù)化歸的理論，高等代數(shù)把高階的行列式轉(zhuǎn)換成低階的；把求線性方程組的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換成求增廣矩陣的秩；把向量類的問題化歸成坐標(biāo)的問題，把二次型的探討化歸成實(shí)對稱矩陣的問題。

（3）分類思想

    根據(jù)概念來劃分，中學(xué)數(shù)學(xué)包含對數(shù)劃分、對代數(shù)式劃分等等；而根據(jù)研究對象高等代數(shù)課把次數(shù)比零大的多項(xiàng)式劃分成可約分以及不可約分，把二次型劃分成正定式、負(fù)定式、不定式。此外，還可以根據(jù)元素之間的等價(jià)情況劃分，根據(jù)向量空間的同構(gòu)關(guān)系劃分等等。

（4）結(jié)構(gòu)思想

    從結(jié)構(gòu)思想這方面來比較分析的話，兩者都是利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的看法及措辭編纂的教科書，因此表面看來就有很多類似的地方。由負(fù)數(shù)到負(fù)數(shù)多項(xiàng)式以及負(fù)數(shù)元素，從倒數(shù)到逆矩陣以及逆元素，由算術(shù)運(yùn)算到集合、多項(xiàng)式、矩陣的運(yùn)算定律，從數(shù)字之間的關(guān)系到集合之間的關(guān)系、多項(xiàng)式之間的關(guān)系。    

（5）類比推理思想

    根據(jù)類比思想，中學(xué)的數(shù)學(xué)從分?jǐn)?shù)的性質(zhì)推出分式的性質(zhì)；從兩條直線之間的關(guān)系推出兩個(gè)平面的關(guān)系；從直角三角形的勾股定理推出空間的勾股定理。而高等代數(shù)從整數(shù)整除思想推出多項(xiàng)式的整除理論；向量的一般要素之間的關(guān)系推出多維歐式空間內(nèi)向量的一般要素關(guān)系。

3. 觀念方面的聯(lián)系

    高等代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)初步接觸的概念的深入研究。通過觀察中學(xué)數(shù)學(xué)的探索對象可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)探索的是真實(shí)世界的數(shù)量聯(lián)系以及空間的模式。但是從中學(xué)數(shù)學(xué)的代數(shù)式、方程、點(diǎn)線面到高等代數(shù)的集合、多項(xiàng)式、矩陣，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)已突破傳統(tǒng)的觀念，向量空間、歐氏空間已進(jìn)入研究的領(lǐng)域。這種觀念上的進(jìn)步應(yīng)該是中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的重點(diǎn)考慮對象。

    說到數(shù)學(xué)，首先進(jìn)入大腦的就是抽象、嚴(yán)密和龐大的信息量。但是僅僅從現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教育中很難感受到這樣的感覺。第一抽象性：以字母代表數(shù)字的方式在中學(xué)數(shù)學(xué)中使得孩子們對抽象有了一些感受，然后如何利用這種抽象思維卻不是很了解，在學(xué)習(xí)了高等代數(shù)之后，接觸的案例很快就增加了。舉個(gè)例子來說，在進(jìn)行諸如幾何向量這樣的研究對象的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，抽象出向量空間的意識(shí)，并把幾何向量賦予實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的向量空間即可有歐氏空間的意識(shí)。因此，數(shù)學(xué)探索的對象在抽象程度的增強(qiáng)過程中持續(xù)增加，使得所得的結(jié)果更為根本。第二嚴(yán)密性，考慮到中學(xué)生的接受能力，書本中嚴(yán)密的定義很少，很多問題往往使用圖形來形象話問題，因此嚴(yán)密性不夠。但是高等代數(shù)不管如何都是從嚴(yán)密的定義開始，一步步根據(jù)邏輯得到結(jié)論。第三信息量龐大，數(shù)學(xué)是生活應(yīng)用最為廣泛的一門學(xué)科，每一個(gè)人每一個(gè)行業(yè)或多或少都會(huì)使用到數(shù)學(xué)，尤其是工程類，研究類型的專業(yè)，在數(shù)學(xué)方面要求更高。中學(xué)數(shù)學(xué)雖然比較簡單，但是也可以應(yīng)對部分容易的問題，在教育方面不容忽視；而高等代數(shù)難度上大大得到了提升，它解決問題的功能也大大提升了，可以用來很多復(fù)雜的問題，像金融計(jì)算、投入規(guī)劃等等。總而言之，研究的越深，應(yīng)用的就越多。

4. 結(jié)束語

    中學(xué)數(shù)學(xué)和高等代數(shù)相互滲透，高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密，將高等代數(shù)的方法應(yīng)用與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠解決了中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只知理論不知來源的弊病，同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向高等代數(shù)學(xué)習(xí)的良好過渡。而中學(xué)數(shù)學(xué)中像幾何證明思想、隨機(jī)思想、極限思想等這些重要而又基本的數(shù)學(xué)思想對于以后學(xué)習(xí)高等代數(shù)來說，也是最基本而又非常重要的保障。將高等代數(shù)知識(shí)體系、思想方法、理論概念與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系起來是新世紀(jì)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的基本戰(zhàn)略，也是素質(zhì)教育發(fā)展的必然趨勢，具有非常廣闊的應(yīng)用空間。

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