芻議知識(shí)發(fā)生過程中的概念建構(gòu)

新課標(biāo)明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。在落實(shí)新課標(biāo)的實(shí)踐中，我們認(rèn)識(shí)到，加強(qiáng)概念發(fā)生過程教學(xué)，注意學(xué)生對概念實(shí)質(zhì)理解和運(yùn)用，避免過度抽象和形式化，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵。

一、注重探求概念的形成過程，避免結(jié)論直接呈現(xiàn)

解決問題的探求過程可以是開放的，讓學(xué)生大膽假設(shè)和猜想，合作交流，教師注意把握方向，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生朝著揭示概念的本質(zhì)特征的方向上來。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到提出新概念的必需性和合理性，并在此基礎(chǔ)上歸納概括出概念的本質(zhì)特征。例如在等差數(shù)列概念的教學(xué)中，采用以下引入過程。在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會(huì)遇到下面的特殊數(shù)列。

1.水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚，如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：

2.我國現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息。按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。例如，按活期存入10000 元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5 年內(nèi)各年末的本利和組成的數(shù)列是？

問題：上面的數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？你能用數(shù)學(xué)語言（符號(hào)）描述這些特點(diǎn)嗎？

讓學(xué)生通過親身體驗(yàn)各個(gè)數(shù)列中項(xiàng)的形成，得到規(guī)律，發(fā)現(xiàn)2個(gè)數(shù)列有一個(gè)共同的特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起后一項(xiàng)減前一項(xiàng)的差值是一個(gè)常數(shù)，從而得到概念，經(jīng)歷了一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程。

二、注重理解概念的實(shí)質(zhì)，避免過度形式化

如何把數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為一種教育形態(tài)？那就是強(qiáng)調(diào)學(xué)生理解概念的實(shí)質(zhì)，讓數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)一種符合學(xué)生的認(rèn)知能力和認(rèn)知水平的狀態(tài)，從而被學(xué)生吸納，不排斥數(shù)學(xué)的形式化，也不過度追求概念的形式化。教學(xué)過程還要注意數(shù)學(xué)符號(hào)的使用和轉(zhuǎn)化，注意文字、符號(hào)和圖形之間的轉(zhuǎn)換，強(qiáng)調(diào)符號(hào)感，適度形式化。例如在向量概念的教學(xué)中，可這樣引入，首先思考以下問題：

1.在數(shù)學(xué)或其他學(xué)科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？

2.既有大小又有方向的量應(yīng)如何表示？學(xué)生分析討論，可能會(huì)回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

然后引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大?。?和向量（既有大小又有方向）的概念，分析兩種量的區(qū)別和聯(lián)系，從而強(qiáng)調(diào)向量的表示方法：用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。向量不僅可以用有向線段表示，也可用a、b、c…表示，還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如AB，向量AB 的大小就是向量AB 的長度（模），記作|AB|。長度為零的向量叫零向量，長度等于1的向量叫作單位向量。

三、注重融合概念的運(yùn)用，避免知識(shí)脫離實(shí)際

數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)提供概念的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。應(yīng)用問題要來源于生活，貼近生活，注重學(xué)生的親身實(shí)踐，注重符合學(xué)生認(rèn)知水平，在應(yīng)用的基礎(chǔ)上建立概念模型。例如：在函數(shù)的概念教學(xué)中，首先引入以下實(shí)例：

1.一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過60s 落到地面擊中目標(biāo)。炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h 隨時(shí)間t 的變化規(guī)律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）。

2.近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題。下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979 年到2001 年的變化情況。

四、注重概念的人文價(jià)值，避免內(nèi)容缺失文化

在概念教學(xué)中，教師要善于挖掘素材和創(chuàng)設(shè)氛圍，滲透數(shù)學(xué)的人文價(jià)值于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中。例如在復(fù)數(shù)概念教學(xué)中，可以先閱讀以下文字：

數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。早在人類社會(huì)初期，人們在狩獵、采集果實(shí)等勞動(dòng)中，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2，3，4 等數(shù)以及表示“沒有”的數(shù)0。自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N。隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也得到了發(fā)展。

為了解決測量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù)，這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到了有理數(shù)集Q，顯然NQ。如果把自然數(shù)集（含正整數(shù)和0）與負(fù)整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ。如果把整數(shù)看作分母為1 的分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)集實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)集。

有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個(gè)矛盾，人們又引進(jìn)了無理數(shù)。所謂無理數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù)。有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集R。因?yàn)橛欣頂?shù)都可看作循環(huán)小數(shù)（包括整數(shù)、有限小數(shù)），無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)集實(shí)際上就是小數(shù)集。

然后教師總結(jié)：數(shù)集因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對數(shù)學(xué)學(xué)科本身來說，解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾。但是，數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集R 以后，像x2=- 1 這樣的方程還是無解，因?yàn)闆]有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1。由于解方程的需要，人們引入了一個(gè)新數(shù)虛數(shù)單位，于是引入復(fù)數(shù)的概念。

這樣既能讓學(xué)生了解數(shù)的發(fā)展過程，又培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力。

總之，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)對于我們數(shù)學(xué)教師來說，永遠(yuǎn)都值得研究，同時(shí)在新課標(biāo)的要求下，概念教學(xué)應(yīng)該更加形式多樣化，要使教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)者，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的激發(fā)者，輔導(dǎo)者，幫助學(xué)生“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”和掌握知識(shí)。

本文來源：《文學(xué)教育》：http://k2057.cn/w/wy/63.html